4.3 Aplicaciones

Variación de una cuerda.
Dentro de ciertos limites elásticos la cuerda obedece a la ley de Hooke: si la cuerda es estirada o comprimida, su cambio en longitud  sera proporcional a la fuerza ejercida sobre la cuerda y, cuando la fuerza se quita, la cuerda retorna a su posición original y su longitud y otras propiedades físicas permanecen invariables.
Si una fuerza de una magnitud Q libras alargas c pies de la cuerda, la relación

Q=kc

define la constante de la cuerda k en unidades de libra por pies.

Su póngase que que un cuerpo B que pesa w libras es atado al extremo libre de la cuerda , y llevado al punto de equilibrio donde permanece en reposo. Inmediatamente que el peso B es sacado del punto equilibrado E, el movimiento de B estará determinado por una ecuación diferencial y unas condiciones a la frontera asociadas.

Ademas de la fuerza proporcional al desplazamiento, habrá en general una fuerza retardataria causada por la resistencia del medio en el que el movimiento se lleva al cabo o por la fricción. Algunas fuerzas retardatorias comunes, tales como las proporcionales al cubo de la velocidad, conduces a ecuaciones diferenciales no lineales a las cuales no es fácil aplicar el tratamiento de la transformada de Laplace.

El peso de la cuerda en generalmente en comparación con el peso B, de tal forma que usaremos, para la masa de nuestro sistema, el peso B dividido entre g, la aceleración constante de la gravedad. Si ninguna otra fuerza mas que la descritas actúa sobre el peso, el desplazamiento x debe satisfacer la ecuación

Entonces la fuerza impuesta es  y la ecuación (2) se remplaza

 

Al tiempo cero, desplacemos el peso una cantidad x₀ y v₀ pueden ser cero en instantes específicos. El problema de determinar la posición del peso en cualquier tiempo t se transforma en el de resolver el problema de los valores a la frontera que consiste de la ecuación diferencial.

Y las condiciones iniciales

X(0)=x₀, x’(0)=ѵ₀

Es conveniente representar la ecuación (4) en la forma

X”(t)+2yx”(t)+β²x(t)=F(t),

en la que hemos hecho

 

Las fuerzas ejercidas que no tienen un comportamiento matemático adecuado, tales que  no existen sus transformadas de Laplace, son muy difíciles de manejar. Suponiendo entonces que.

L{x(x)}=u(s), L{F(t)}=f(s)